Question

4．非零向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围为（　　）

• A． [1，$\sqrt{3}$]
• B． [2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
• C． [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，4）
• D． [1，2]

Answer 1

分析 由向量的知识和基本不等式可得|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|的范围，而|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+4}$，由不等式的性质可得．

解答 解：∵非零向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角θ=120°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=4，∴|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，
∴|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=4，
∴4-|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²≥2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，
∴0＜|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|≤$\frac{4}{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{{2}^{2}+4×|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|×（-\frac{1}{2}）}$
=$\sqrt{-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+4}$∈[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，4）
故选：C

点评 本题考查数量积和向量的夹角，涉及不等式的性质，属中档题．