Question

【题目】已知点是抛物线上一点，点为抛物线的焦点，.

（1）求直线的方程；

（2）若直线过点，与抛物线相交于两点，且曲线在点与点处的切线分别为，直线相交于点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）12

【解析】

（1）根据抛物线的定义可由求出p，即可求得抛物线方程及焦点F，由点P在抛物线上即可求出t从而得点P的坐标，即可写出直线PF的两点式方程；（2）设，，求出直线m、n的方程，联立可得直线l的方程，由直线过点可得，所以点在定直线上，数形结合可得的最小值.

（1）因为，所以，解得，

所以，抛物线方程为：，

又点在抛物线上，所以，又，所以，则，

故直线的方程为，

化简得.

（2）由（1）知，抛物线方程为，点.

设，则，，因为，

所以直线的方程为，整理得，

同理可得直线的方程为，设，

因为直线相交于点，

联立，得直线的方程为，又因为直线过点，

所以，即点在定直线上，所以的最小值为.