Question

已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²+6x-2y+7=0相切．过点（0，-）的直线与椭圆C交于P，Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）写出直线AF的方程，由直线AF与圆M相切得关于c的方程，解出c再由a²=c²+b²即可求得a值；
（II）易判断直线PQ的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出PQ，根据点到直线的距离公式表示出点A（0，1）到直线PQ的距离，由三角形面积公式可表示出△APQ的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k的值；
解答：解：（I）将圆M的一般方程x²+y²+6x-2y+7=0化为标准方程（x+3）²+（y-1）²=3，则圆M的圆心M（-3，1），半径．
由得直线AF的方程为x-cy+c=0．
由直线AF与圆M相切，得，
解得或（舍去）．
当时，a²=c²+1=3，
故椭圆C的方程为．
（II）由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线PQ的方程为．
因为点在椭圆内，所以对任意k∈R，直线都与椭圆C交于不同的两点．
由得．
设点P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则，
所以==．
又因为点A（0，1）到直线的距离，
所以△APQ的面积为．
设，则0＜t≤1且，．
因为0＜t≤1，所以当t=1时，△APQ的面积S达到最大，
此时，即k=0．
故当△APQ的面积达到最大时，直线的方程为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆方程的求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力，有关的基本公式、常用方程是解决问题的基础．