题目内容

如图，已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且•=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】分析：（Ⅰ）确定圆M的圆心与半径，利用直线AF与圆M相切，根据点到直线的距离公式，求得几何量，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为y=-，分别与椭圆C的方程联立，求得P、Q的坐标，可得直线l的方程，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程（x-3）2+（y-1）2=3，
圆M的圆心为M（3，1），半径r=
由A（0，1），F（c，0）（c=），得直线AF：+y=1，即x+cy-c=0，
由直线AF与圆M相切，得=，∴c2=2
∴a2=c2+1=3，∴椭圆C的方程为C：+y2=1；
（Ⅱ）证明：∵•=0，∴AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为y=-
将y=kx+1代入椭圆C的方程，整理得：（1+3k2）x2+6kx=0，
解得x=0或x=-，因此P的坐标为（-，-+1），
即P（-，）
将上式中的k换成-，得Q（，）
∴直线l的斜率为=
直线l的方程为y=（x-）+
化简得直线l的方程为y=x-，因此直线l过定点N（0，-）．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查圆锥曲线和直线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．
如图，已知椭圆C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若动点T满足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值为-
5
4
，求抛物线P的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A（0，b），且
F1A
•
F2A
=-2过左焦点F1作直线l交椭圆于P1、P2两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的倾斜角a∈[
π
3
，
2π
3
]，直线OP1，OP2与直线x=-
4
3
3
分别交于点S、T，求|ST|的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点为F1（1，0）、F2（-1，0），离心率为
2
2
，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）①求直线l的斜率k的取值范围；
②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．
（2012•梅州一模）如图，已知椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且
AP
•
AQ
=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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