Question

已知数列{a_n}，其中a₁=1，a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），数列{b_n}的前n项和Sn=log3(

an

9n

)其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．

Answer 1

分析：（1）通过对已知等式的两边取对手得到a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），通过累加求和的方法得到数列{a_n}的通项公式；
（2）将（1）中的结果代入Sn=log3(

an

9n

)并化简，利用通项与和的关系求出数列{b_n}的通项公式；
（3）通过对n的讨论判断出b_n的符号，然后将T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．的绝对值符号去掉，转化为数列{b_n}的前n项和的问题，利用等比数列的前n项和公式求出值．

解答：解：（1）因为a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），
所以log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1），
a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），累加得log3an-log3a1=1+2+3+…+(n-1)=

n(n-1)

2

，
∴log3an=

n(n-1)

2

，则an=3

n(n-1)

2

（2）

而b1=S1=-2，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n-3，n=1时也适合， 所以数列{bn}的通项公式为bn=n-3(n∈N*)

(3)当bn=n-3≤0，即n≤3时，Tn=-Sn= 5n-n2 2 ， 当bn=n-3＞0，即n＞3时，

Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=(b1+b2+…+bn)-(b1+b2+b3)=Sn-2S3=

n2-5n+12

2

，综上所述Tn=

5n-n2 2 (n≤3，且n∈N*) n2-5n+12 2 (n＞3，且n∈N).

点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点然后选择合适的求和方法进行计算．