Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA1=

3

．
（1）求异面直线AC₁，A₁B₁所成的角的大小．
（2）求证：BC₁∥平面A₁DC．

Answer 1

分析：（1）利用正三棱柱中的平行关系，可知∠BAC₁即为异面直线AC₁，A₁B₁所成的角．在△BAC₁中，AB=1，AC₁=2，BC₁=2，利用余弦定理可求；
（2）连接AC₁交A₁C于点G，连接DG，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，则AG=GC₁，而AD=DB，则DG∥BC₁，DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，根据线面平行的判定定理可知BC₁∥平面A₁DC．

解答：解：（1）∵AB∥A₁B₁，
∴∠BAC₁即为异面直线AC₁，A₁B₁所成的角
在△BAC₁中，AB=1，AC₁=2，BC₁=2
∴cos∠BAC1=

1+4-4

2×1×2

=

1

4

∴∠BAC1=arccos

1

4

即 异面直线AC₁，A₁B₁所成的角为arccos

1

4

；
（2）证明：连接AC₁交A₁C于点G，连接DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AG=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．

点评：本题以正三棱柱为载体，主要考查了直线与平面平行的判定定理以及线面角的求法．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．