题目内容
10．已知数列{an}的前项n和为Sn，且3Sn=4an-4．又数列{bn}满足bn=log2a1+log2a2+…+log2an．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$，求使得不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立的实数k的取值范围．
分析 （1）利用再写一式，两式相减的方法求数列{an}的通项公式、利用数列{bn}满足bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求出{bn}的通项公式；
（2）若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$，裂项求和，不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立，即k≥$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$恒成立，即可实数k的取值范围．
解答 解：（1）由3Sn=4an-4可得a1=4，
∵3Sn=4an-4，∴3Sn-1=4an-1-4，∴3Sn-3Sn-1=4an-4-（4an-1-4），
∴3an=4an-4an-1，即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=4$．
∴数列{an}是首项为a1=4，公比为4的等比数列，∴${a_n}={4^n}={2^{2n}}$．
又bn=log2a1+log2a2+…+log2an=2+4+…+2（n-1）+2n=n（n+1），
∴bn=n（n+1）．
（2）${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立，即k≥$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$恒成立，
设dn=$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$，则dn+1-dn=$\frac{11-6n}{{4}^{n-1}}$，
∴当n≥2时，数列{dn}单调递减，当1≤n＜2时，数列{dn}单调递增；
即d1＜d2＞d3＞d4＞…，
∴数列最大项为${d_2}=\frac{1}{16}$，∴$k≥\frac{1}{16}$．
点评 本题考查数列的图象，考查裂项法求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
| A． | 1 | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |