Question

18．已知AC、BD为圆O：x²+y²=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，1），则四边形ABCD的面积的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 5
• D． 5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则d₁²+d₂² =2，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$|AC||BD|，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．

解答 解：如图，连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEMF为矩形
已知OA=OC=2，OM=$\sqrt{2}$，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
则d₁²+d₂²=OM²=2．
四边形ABCD的面积为：S=$\frac{1}{2}$•|AC|（|BM|+|MD|），
从而：S=$\frac{1}{2}$|AC||BD|=2$\sqrt{（4-{{d}_{1}}^{2}）（4-{{d}_{2}}^{2}）}$≤8-（d₁²+d₂²）=6，
当且仅当d₁² =d₂²时取等号，
故选：A．

点评 此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算．