Question

       如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D, 割线EC交圆O于B、C两点．

    （Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；

    （Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．

Answer 1

解：

（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA²＝ED·EO．

由切割线定理得EA²＝EB·EC，故ED·EO＝EB·EC，即＝，

又∠OEC＝∠OEC，所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE．

因此O，D，B，C四点共圆．                                                                

（Ⅱ）连结OB．因为∠OEC＋∠OCB＋∠COE＝180°，结合（Ⅰ）得

∠OEC＝180°－∠OCB－∠COE＝180°－∠OBC－∠DBE

＝180°－∠OBC－(180°－∠DBC)＝∠DBC－∠ODC＝20°．