题目内容
如图：△ABC是边长为2的正三角形，EC⊥面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点．
①求证：DE=DA；
②求证：DM∥面ABC；
③求C到面ADE的距离．
①求证：DE=DA；
②求证：DM∥面ABC；
③求C到面ADE的距离．
①证明：∵EC⊥面ABC，BD∥CE，∴DB⊥平面ABC．∵△ABC是边长为2的正三角形且CE=CA=2BD，
∴在直角三角形ABC中，可求得AD=
． 在直角梯形ECBD中，可求得DE=
，∴DE=AD．
②证明：设AC的中点为F，则MF∥EC，MF=
EC，由①DB∥EC，DB=
EC，
∴MF∥DB，MF=DB，故BDMF为矩形，∴BF∥DM． 又∵DM?平面ABC，BF?平面ABC，∴DM∥平面ABC．
③易证DM⊥平面AEC，∴平面ADE⊥平面AEC，
过C作CH⊥AE，则CH⊥平面ADE，故CH之长为点C到平面ADE的距离，
由面积法求得 CH=
=
．
∴在直角三角形ABC中，可求得AD=
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②证明：设AC的中点为F，则MF∥EC，MF=
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∴MF∥DB，MF=DB，故BDMF为矩形，∴BF∥DM． 又∵DM?平面ABC，BF?平面ABC，∴DM∥平面ABC．
③易证DM⊥平面AEC，∴平面ADE⊥平面AEC，
过C作CH⊥AE，则CH⊥平面ADE，故CH之长为点C到平面ADE的距离，
由面积法求得 CH=
| CA•CE |
| AE |
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练习册系列答案
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