题目内容
（2012•徐州模拟）如图，△ABC是边长为2| 3 |
| AP |
| BP |
[1，13]
[1，13]
．分析：根据△ABC是边长为2
的等边三角形，算出
•
=6，分别将
和
分解为以
、
和
为基向量的式子，将数量积
•
展开，化简整理得
•
=7+
（
+
），最后研究
+
的大小与方向，可得
（
+
）的最大、最小值，最终得到
•
的取值范围．
| 3 |
| AC |
| BC |
| AP |
| BP |
| AC |
| BC |
| CP |
| AP |
| BP |
| AP |
| BP |
| CP |
| AC |
| BC |
| AC |
| BC |
| CP |
| AC |
| BC |
| AP |
| BP |
解答：解：∵
=
=2
，∠ACB=60°
∴
•
=2
•2
cos60°=6
∵
=
+
，
=
+
∴
•
=（
+
）（
+
）=
•
+
（
+
）+
2
∵
=1
∴
•
=6+
（
+
）+1=7+
（
+
）
∵△ABC是边长为2
的等边三角形，
∴向量
+
是与AB垂直且方向向上，长度为6的一个向量
由此可得，点P在圆C上运动，当
与
+
共线同向时，
（
+
）取最大值，且这个最大值为6
当
与
+
共线反向时，
（
+
）取最小值，且这个最小值为-6
故
•
的最大值为7+6=13，最小值为7-6=1．即
•
的取值范围是[1，13]
故答案为：[1，13]
| |AC| |
| |BC| |
| 3 |
∴
| AC |
| BC |
| 3 |
| 3 |
∵
| AP |
| AC |
| CP |
| BP |
| BC |
| CP |
∴
| AP |
| BP |
| AC |
| CP |
| BC |
| CP |
| AC |
| BC |
| CP |
| AC |
| BC |
| CP |
∵
| |CP| |
∴
| AP |
| BP |
| CP |
| AC |
| BC |
| CP |
| AC |
| BC |
∵△ABC是边长为2
| 3 |
∴向量
| AC |
| BC |
由此可得，点P在圆C上运动，当
| CP |
| AC |
| BC |
| CP |
| AC |
| BC |
当
| CP |
| AC |
| BC |
| CP |
| AC |
| BC |
故
| AP |
| BP |
| AP |
| BP |
故答案为：[1，13]
点评：本题在等边三角形和单位圆中，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向量的加减法则和平面向量数量积的运算性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•徐州模拟）选修4-1：几何证明选讲
（2012•徐州模拟）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，