Question

（2013•普陀区二模）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a（a为常数）．下列结论中，正确的是（　　）

A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个

B．当a=1时，满足条件的点P有三个

C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个

D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个

Answer 1

分析：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x²+（y-

3

6

）²=

1

3

（a-1），讨论a的取值范围，可得当a＞1时方程表示以点（0，

3

6

）为圆心，半径r=

1 3 (a-1)

的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意．

解答：解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示
则A（-

1

2

，0），B（

1

2

，0），C（0，

3

2

），设P（x，y），可得

|PA|

2=x²+（y-

3

2

）²，

|PB|

2=（x+

1

2

）²+y²，

|PC|

2=（x-

1

2

）²+y²
∵|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a
∴x²+（y-

3

2

）²+（x+

1

2

）²+y²+（x-

1

2

）²+y²=a
化简得：3x²+3y²-

3

y+

5

4

-a=0，即x²+y²-

3

3

y+

5

12

-

a

3

=0
配方，得x²+（y-

3

6

）²=

1

3

（a-1）…（1）
当a＜1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；
当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，

3

6

），恰好是正三角形的重心；
当a＞1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，

3

6

）为圆心，半径为

1 3 (a-1)

的圆
由此对照各个选项，可得只有C项符合题意
故选：C

点评：本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题．