Question

20．已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）=log₂x；当-1≤x≤1时，f（x）+f（-x）=0；当$x＜-\frac{1}{2}$时，$f（x-\frac{1}{2}）-f（x+\frac{1}{2}）=0$．则$f（-32）+f（-\frac{1}{32}）$的值为5．

Answer 1

分析 由已知分析出当-1≤x≤1时的奇偶性和当$x＜-\frac{1}{2}$时的周期性，进而可得答案．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=log₂x；
∴f（1）=0，f（$\frac{1}{32}$）=-5，
∵当-1≤x≤1时，f（x）+f（-x）=0；
∴f（-$\frac{1}{32}$）+f（$\frac{1}{32}$）=0，即f（-$\frac{1}{32}$）=5，
同理：f（-1）=0
又∵当$x＜-\frac{1}{2}$时，$f（x-\frac{1}{2}）-f（x+\frac{1}{2}）=0$．
故f（-32）=f（-31）=f（-30）=…=f（-1）=0，
故$f（-32）+f（-\frac{1}{32}）$=5，
故答案为：5．

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的求值，难度中档．