Question

15．求过定点P（-1，1），且与抛物线y²=2x只有一个公共点的直线1的方程．

Answer 1

分析 设直线l的斜率等于k，则当 k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，所以此时直线与抛物线只有一个公共点．再讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论．

解答 解：①设直线l的斜率等于k，
则当 k=0时，直线l的方程为 y=1，满足直线与抛物线y²=2x仅有一个公共点，
当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为 y=kx+k+1，
代入抛物线的方程可得：
k²x²+（2k²+2k-2）x+k²+2k+1=0，
根据判别式等于0，求得 k=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$，故切线方程为y=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$（x+1）+1．
②当斜率不存在时，直线方程为x=-1，经过检验可得此时直线与抛物线y²=2x不相切．
故所求的直线方程为：y=1，或y=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$（x+1）+1．

点评 本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．解题中容易漏掉斜率不存在的讨论．