题目内容

11．自变量x取什么值时，下列函数为无穷小．
（1）y=$\frac{1}{{x}^{2}}$；
（2）y=2x-1．

分析 无穷小就是极限为0，故本题是求极限为0时自变量的取值，进而得到答案．

解答 解：（1）∵$\lim_{x→+∞}$$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，且$\lim_{x→-∞}$$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，
∴x趋向于正负穷大时，y=$\frac{1}{{x}^{2}}$的函数值可以无穷小．
（2）∵$\lim_{x→\frac{1}{2}}$（2x-1）=0，
∴x趋向于$\frac{1}{2}$时，y=2x-1的函数值可以无穷小．

点评 本题考查极限为0时自变量的取值，解题时要认真审题，是基础题．

练习册系列答案
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1．已知函数f（x）=x3-2x2+1．
（1）f（x）在区间[-1，1]上的最大值；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx区间[-2，2]上存在递减区间，求实数m的取值范围．
2．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下，据此解答下列问题：

（Ⅰ）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数；
（Ⅱ）若要从分数在[90，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[90，100]之间的概率．
19．“$\frac{1}{x}＞1$”是“ex-1＜1”的（　　）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
6．正整数列{an}，{bn}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，ak是ak-1与bk-1的等差中项，bk是ak-1与bk-1的等比中项．
（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；
（2）求证：{an}是等差数列的充要条件是{an}为常数数列；
（3）记cn=|an-bn|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+cn与c1的大小关系并说明理由．
5．函数f（x）=mx|x-a|-|x|+1，
（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a=1，且f（x）有且仅有一个零点，求m的取值范围；
（3）若m=1，g（x）=log2（4x）•log2$\frac{4}{x}$，总存在x1∈R，对任意x2∈（0，+∞）恒有g（x2）＜f（x1）-x12成立，求a的取值范围．
12．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项，如表所示．
a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12
x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6
按如此规律下去，则a2009+a2010+a2011等于（　　）
A．1 003B．1 005C．1 006D．2 010
9．已知函数f（x）=mx+lnx．
（Ⅰ）若f（x）的最大值为-1，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）的两个零点为x1，x2且ex1≤x2，求y=（x1-x2）f′（x1+x2）的最小值．（其中e为自然对数的底数，f′（x）是f（x）的导函数）
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an=3Sn-1+4（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）令bn=log2$\frac{{a}_{n+2}}{7}$，cn=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$，其中n∈N+，记数列{cn}的前项和为Tn，是否存在k∈N+，使得Tn≥Tk恒成立，若存在这样的k的值，请求出；若不存在这样的k的值，请说明理由．

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