题目内容

设函数 $数学公式$ ，若f（x）在 $数学公式$ 处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）存在 $数学公式$ 使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，定义域为（0，+∞），
∴ $\text{[math]}$ ．…（1分），
∵ $\text{[math]}$ 处取得极值，
∴ $\text{[math]}$ …（2分）
即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴所求的a，b的值分别为 $\text{[math]}$ …（4分）
（ii）因在 $\text{[math]}$ 存在x_o，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，
故只需c≥[f（x）]_min，
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（6分）

f'（x）导数的符号如图所示
∴f（x）在区间 $\text{[math]}$ ，[1，2]递减；
$\text{[math]}$ 递增；…（7分）
∴f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的极小值是 $\text{[math]}$ ．…（8分）
而 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
又∵e³-16＞0，∴ $\text{[math]}$ …（10分）
∴[f（x）]_min=f（2）…（11分）
∴ $\text{[math]}$ ，即c的最小值是 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）由真数大于零求出函数的定义域，再求出函数的导数，由取得极值的必要条件得 $\text{[math]}$ ，列出方程组进行求解；
（2）由f（x₀）-c≤0成立，转化为c≥[f（x）]_min，再由导数的符号确定函数在已知区间上的单调性，进而求出函数的极值，再求出区间端点处的函数值进行比较，求出函数的最小值．
点评：本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及恒成立转化问题，考查了分析及解决问题的能力．