Question

如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

(Ⅰ)求证：AB⊥平面PCB；

(Ⅱ)求异面直线AP与BC所成角的大小；

(Ⅲ)求二面角C－PA－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB． 　　∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB． 　　又，∴AB平面PCB． 　　(Ⅱ)过点A作AF∥BC，且AF＝BC，连结PF，CF．则为异面直线PA与BC所成的角． 　　由(Ⅰ)可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂线定理，得PFAF．则AF＝CF＝，PF＝， 　　在中，tan∠PAF＝＝，即∠PAF＝． 　　∴异面直线PA与BC所成的角为． 　　(Ⅲ)取AP的中点E，连结CE、DE． 　　∵PC＝AC＝2，∴CEPA，CE＝． 　　∵CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA． 　　∴为二面角C－PA－B的平面角． 　　由(Ⅰ)AB平面PCB，又∵AB＝BC，AC＝2，∴BC＝． 　　在中，PB＝，． 　　在中，． 　　∴二面角C－PA－B的大小为． 　　解法二：(Ⅰ)同解法一． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)AB平面PCB，∵PC＝AC＝2，又∵AB＝BC，可求得BC＝． 　　以B为原点，如图建立坐标系．则，，，． 　　＝(，－，2)，＝(，0，0)． 　　∴＝＝． 　　∴异面直线AP与BC所成的角为． 　　(Ⅲ)设平面PAB的法向量为＝(x，y，z)． 　　＝(0，－，0)，＝(，－，2)， 　　则，即，令z＝－1，得． 　　设平面PAC的法向量为＝()．＝(0，0，－2)，＝(，－，0)， 　　则，即，令＝1，得＝(1，1，0)． 　　＝，即二面角C－PA－B的大小为arcos．