Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，E是BC中点，若PA=AB，则异面直线PE与AB所成角的余弦值（　　）

• A．

  3 7

  14

• B．

  21

  6

• C．

  5

  10

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：平移法：取AC中点F，连接EF、PF，可证∠PEF即为异面直线PE与AB所成角或其补角．设等边三角形△ABC的边长为2，在△PEF中，由余弦定理即可求出cos∠PEF．

解答：解：取AC中点F，连接EF、PF，
∵E为BC中点，∴EF∥AB，则∠PEF即为异面直线PE与AB所成角或其补角．
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
设等边三角形△ABC的边长为2，∵PA=AB，∴PA=2，
在Rt△PAF中，PA=2，AF=1，所以PF=

5

，
又E、F分别为BC、AC中点，所以EF=1，
在等腰Rt△PAC中，PC=2

2

，同理PB=2

2

，
∴PC=PB，PE⊥BC，在Rt△PEB中，PE=

(2 2 )2-12

=

7

．
在△PEF中，cos∠PEF=

PE2+FE2-PF2

2•PE•FE

=

7+1-5

2× 7 ×1

=

3 7

14

．
故选A．

点评：本题考查异面直线所成角的求法，通过平移把异面角转化为平面角处理是常用方法，体现了转化思．