Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，设点，，为抛物线上的动点（异于顶点），连结并延长交抛物线于点，连结、并分别延长交抛物线于点、，连结，设、的斜率存在且分别为、.

（1）若，，，求；
（2）是否存在与无关的常数，是的恒成立，若存在，请将用、表示出来；若不存在请说明理由.

Answer 1

（1）2；（2）.

试题分析：（1）依题意求直线的方程，设两点的坐标分别为，联立方程组消去得到关于的方程，由韦达定理求出
，在根据弦长公式求解；（2）设求直线的方程代入抛物线方程，消去得到关于的方程，找到的关系是，用表示点的坐标，同理用表示点的坐标，由于三点共线，找到的关系，最后用斜率公式求，整理即得.
试题解析：(1)直线，设





           4分
（2）设
则直线的方程为：，代入抛物线方程，
整理得，
，即
从而，故点
同理，点          8分
三点共线


即
整理得
所以，

即                   13分