Question

在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；②
(1) 求曲线的方程;
(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.

Answer 1

（1） ；（2）  

试题分析：（1）求出是到直线的距离d和的表达式，由=2d建立等式，整理得在把代入中求出x的取值范围即可.
（2）由导数的几何意义求出直线m的斜率，求出直线m的参数方程，然后代入曲线C₂方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由直线与椭圆相切，所以△==0，而又二者联立起来解出a²，b²，由a²>b²，求出参数t的取值范围，在根据椭圆离心率e的定义就可求出其范围.
试题解析：解：（1），
，                            2分
由①得：
，
即                                    4分
将代入②得：，
解得：
所以曲线的方程为：                        6分
（2）(解法一)由题意，直线与曲线相切，设切点为，
则直线的方程为，
即                               7分
将代入椭圆 的方程，并整理得：

由题意，直线与椭圆相切于点，则
，
即                               9分
又 即 联解得：         10分
由及得
故，                           12分
得又故
所以椭圆离心率的取值范围是                  14分
（2）(解法二)设直线与曲线、椭圆 均相切于同一点则                    7分
由知;
由知,
故                            9分
联解,得                  10分
由及得
故，                           12分
得又故
所以椭圆离心率的取值范围是                  14分