Question

（2012•泸州模拟）已知函数值不为1的函数f（x）定义在实数集上，且对任意x都有f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），又f(1)=2+

3

，则f（2011）的值为（　　）

• A．2-

  3

• B．-

  3

• C．

  3

• D．2+

  3

Answer 1

分析：由f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），且f（x）≠1可得f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，从而可得f（x+4）=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1

-f(x)

，进而可得f（x+8）=f（x），结合周期可求出f（2011）的值．

解答：解：∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），且f（x）≠1
∴f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，
∴f（x+4）=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=

1-f(x)+1+f(x)

1-f(x)-1-f(x)

=

1

-f(x)

，
∴f（x+8）=

1

-f(x+4)

=

1

- 1 -f(x)

=f（x），
即函数是以T=8为周期的周期函数，
∴f（2011）=f（8×251+3）=f（3）=

1+f(1)

1-f(1)

=

1+2+ 3

1-2- 3

=-

3

．
故选B．

点评：本题主要考查了由函数的递推关系求解函数的周期，结合周期求解函数值，解题的关键是寻求函数的周期．