Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=PA=

1

3

AD=a，cos∠ADC=

2

5

．
（Ⅰ）求点D到平面PBC的距离；
（Ⅱ）求二面角C-PD-A的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，AE的长等于点D到平面PBC的距离，求出AE即可；
（Ⅱ）引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂线定理可知CN⊥PD，则∠CNM是二面角C-PD-A的平面角，解三角形CNM即可求出二面角C-PD-A的正切值．

解答：解：（Ⅰ）如图，在四棱锥P-ABCD中，
∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离．
∵∠ABC=

π

2

，∴AB⊥BC，
又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，
∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．（3分）
而AB=PA=a，∴AE=

2

2

a．
即点D到平面PBC的距离为

2

2

a．（5分）

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，
引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，
∴MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂线定理可知CN⊥PD，
∴∠CNM是二面角C-PD-A的平面角．（8分）
依题意∠ADC=arccos

2

5

，AB=PA=

1

3

AD=a，
∴tan∠ADC=

AB

AD-BC

=

a

3a-BC

=

1

2

，∴BC=a，
可知DM=

2

3

AD，∴MN=

2

3

AD•PA

AD2+PA2

=

2

3

3a•a

9a2+a2

=

2 5

a，（10分）
tanCMN=

CM

MN

=

a

2 5 a

=

10

2

，∴二面角C-PD-A的正切值为

10

2

（12分）

点评：本题考查点到面的距离，二面角及其度量，解题的关键是寻找二面角的平面角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．