Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为${S_n}={2^{n+1}}-2$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过${S_n}={2^{n+1}}-2$与S_n-1=2ⁿ-2（n≥2）作差可知a_n=2ⁿ，进而验证当n=1时是否成立即可；
（2）通过（1）可知b_n=n•2ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）因为${S_n}={2^{n+1}}-2$，
所以S_n-1=2ⁿ-2（n≥2），
两式相减得：a_n=2ⁿ，
又因为a₁=S₁=2满足上式，
所以${a_n}={2^n}$；
（2）由（1）可知b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，
所以T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．