Question

【题目】如图，斜三棱柱中，为锐角，底面是以为斜边的等腰直角三角形， ．

（1）证明：平面 平面；

（2）若直线与底面成角为， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2) .

【解析】分析：（1）先证明平面，再证明平面 平面．（2）利用空间向量求二面角的余弦值．

详解：（1）因为，，，所以平面．

因为平面，所以平面 平面．

（2）因为 平面，在平面内作，垂足为，

所以平面．因为底面成角为，所以．

因为，，所以平面，

所以，

四边形是菱形．因为为锐角，

所以，于是是中点．

设，以为坐标原点，为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，

，，．

设是平面的一个法向量，

则，即，

可以取．

设是平面的一个法向量，

则，即，

可以取．

因为，二面角平面角是钝角，

故二面角的余弦值是．