题目内容
【题目】已知
.
（Ⅰ）若
，求
的单调增区间；
（Ⅱ）当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）增区间为
；（2）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出
，令
求得
的范围，可得函数
增区间， 
求得
的范围，可得函数
的减区间；（Ⅱ）不等式
恒成立，等价于当
时， 
恒成立，只需
，利用导数研究函数的单调性，求出
的最大值为
，所以
， 
.
试题解析：(Ⅰ) 依题意
，
若
时，
，
由
得
，又，
解得
，所以函数
的单调递增区间为
．
(Ⅱ)依题意得
即
，
∴
，∵，∴ 
，∴
，
∴
.
设
， 
，
令
，解得
，
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，在
单调递减；
∴
=
，
∴
即
．
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及求函数的最值、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数
恒成立(
可)或
恒成立
即可）；② 数形结合(
图象在
上方即可)；③ 讨论最值
或
恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得
的取值范围.
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