Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，且，点为中点，点为边上的动点，且．

求证：平面平面；

是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1) 详见解析；(2) 存在，或.

【解析】

试题分析：(1) 根据题中所证结论为：平面平面，由面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直，结合题所给条件不难想到取中点，连结、，利用是中点，由三角形中位线定理得：，又，可得出四边形为平行四边形，又由条件，易得：平面，得：；在中有：，易得：，由线面垂直的判定定理得：平面，又由平面，即可得：平面平面；（2）存在符合条件的.以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，，，，从而，，则平面的法向量为，又平面即为平面，其法向量，则，解得或，进而或.

试题解析：(1) 取中点，连结、，

是中点，，

又，，四边形为平行四边形

，平面，，

，，平面，

平面，平面平面. (6分)

(2) 存在符合条件的.以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，，，

从而，，则平面的法向量为，

又平面即为平面，其法向量，

则，

解得或，进而或. (12分)

考点：1.线面以及面面的垂直关系；2.二面角的求法；3.空间向量在立体几何中的应用