Question

18．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$上从左向右依次取点A_k、B_k，k=1，2，…，其中A₁是坐标原点，使△A_kB_kA_k+1都是等边三角形，则△A₁₀B₁₀A₁₁的边长是512．

Answer 1

分析 设直线与x轴交点坐标为P，由直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$的倾斜角为30⁰，又△A₁B₁A₂是等边三角形$\sqrt{3}$，求出△A₂B₂A_3、…找出规律，就可以求出△A₁₀B₁₀A₁₁的边长．

解答 解：∵直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$的倾斜角为30⁰，且直线与x轴交点坐标为P（-1，0），
又∵△A₁B₁A₂是等边三角形，∴∠B₁A₁A₂=60⁰，B₁A₁=1，PA₂=2，
∴△A₂B₂A₃的边长为PA₂=2，同理 B₂A₂=PA₃=4，…以此类推
B₁₀A₁₀=PA₁₀=512，∴△A₁₀B₁₀A₁₁的边长是512，
故答案为：512．

点评 本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．