Question

【题目】如图，已知四边形和均为平行四边形，点在平面内的射影恰好为点，以为直径的圆经过点，，的中点为，的中点为，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．　

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析: （Ⅰ）推导出平面，从而平面平面，从而，再求出，从而平面 ，由此能证明平面平面．（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

试题解析:

（Ⅰ）∵点在平面内的射影恰好为点，∴平面，

又平面，∴平面平面．

又以为直径的圆经过点，，，∴为正方形．

又平面平面，∴平面．

∵平面，，

又，∴，

又的中点为，∴，

∵，∴，

又平面，平面，，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（Ⅱ）如图，建立以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向的空间直角坐标系，

设，则，，，．

∵的中点为，∴，

故，，

设平面的法向量为，则∴

令，则．

易知平面的一个法向量为，

设二面角为，

∴，

容易看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为．