Question

【题目】如图,圆,点,以线段为直径的圆与圆内切于点,记动点的轨迹为.

（1）求曲线的方程;

（2）设,是曲线上位于直线两侧的两动点,当运动时,始终满足,试求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）连接,则过点,取关于轴的对称点,连接,则,

,可得点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆,即可求得答案;

（2）不妨设的方程为:,代入得:,根据韦达定理,结合已知条件,即可求得答案.

（1）连接,则过点M,取关于y轴的对称点,连接,

则,

又

点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.其中,

曲线的方程为

（2）不妨设的方程为:,代入

得:,

设,

点在椭圆上,

,

由,得,

把上式以代,

可得.

直线的斜率,

设直线的方程为.代入

得:,

,

由得,

由弦长公式得

(当时取等号)

线段长度的最大值为.