Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，CA的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB=2，求三棱锥P-ABC的体积．
（Ⅲ）在BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明：由条件可得平面PAC⊥平面ABC．由于E是CA的中点，BE⊥AC，利用平面和平面垂直的性质定理可得BE⊥平面PAC．
（Ⅱ）若PA=AB=2，根据三棱锥P-ABC的体积 V=

1

3

•S_△ABC•PA=

1

3

（

1

2

AB•AC•sinA）PA，运算求得结果．
（Ⅲ）在BC上是存在F为CD的中点，使AD∥平面PEF．根据三角形的中位线的性质以及直线和平面平行的判定定理可证得AD∥平面PEF．

解答：解：（Ⅰ）证明：由 PA⊥底面ABC，PA?平面PAC，
可得平面PAC⊥⊥平面ABC．
由于E是CA的中点，△ABC为等边三角形，∴BE⊥AC．
再由BE?平面ABC，平面 ABC∩平面PAC=AC，∴BE⊥平面PAC．
（Ⅱ）若PA=AB=2，则三棱锥P-ABC的体积 V=

1

3

•S_△ABC•PA=

1

3

（

1

2

AB•AC•sinA）PA=

1

3

（

1

2

×2×2×

3

2

）×2=

2 3

3

．
（Ⅲ）在BC上是存在一点F，且F为CD的中点，使AD∥平面PEF．
证明：∵E、F分别为AC、CD的中点，∴EF∥AD．
由于 EF?平面PEF，AD?平面PEF，∴AD∥平面PEF．

点评：本题主要考查平面和平面垂直的性质定理的应用，求棱锥的体积，直线和皮平面平行的判定定理的应用，属于中档题．