Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为F（1，0），直线l经过点F且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上的一个动点，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点S，使为常数，若存在，求出定点S的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），可求c值，再根据离心率为，可求出a的值，由a，b，c的关系得到b，则椭圆的方程就能求出．
（2）把|PO|²+|PF|²用P点坐标表示，再根据P点在椭圆上，横纵坐标有范围，就可得到|PO|²+|PF|²的最大值和最小值．
（3）因为直线l绕点F转动，可设出直线l的点斜式方程，与椭圆方程联立，设S点坐标，代入计算，若计算结果为常数，则存在，否则，不存在．
解答：解：（1），所以椭圆方程
（2）设，
即2y²=2-x²，F（1，0）|PO|²+|PF|²=x²+y²+（x-1）²+y²=2y²+x²+（x-1）²=（x-1）²+2
而2y²=2-x²≥0，∴
当x=1时，（|PO|²+|PF|²）_min=2，当时，
（3）①若直线l斜率存在时，设l方程为y=k（x-1）
由消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设S（t，0）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）

=（λ为常数）
即2（k²+1）（k²-1）-4k²（t+k²）+（1+2k²）（t²+k²）=λ（1+2k²）（2t²-4t-2λ+1）k²+t²-λ-2=0
由，解得
②若斜率κ不存在时，、S（t，0）=
综上得，存在，使．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及存在性问题的解法，属于常规题，应当掌握．