Question

9．设f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5，当x∈[0，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（7，+∞）．

Answer 1

分析 首先对f（x）求导，判断出f（x）的单调区间；求出f（x）在[0，2]上的最大值，m需大于f（x）在区间上的最大值．

解答 解：由题意，对f（x）求导：f'（x）=3x²-x-2；
令f'（x）=0⇒x=-$\frac{2}{3}$ 或 1；
∴函数f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$），（1，+∞）上单调递增，在（-$\frac{2}{3}$，1）上单调递减；
当x∈[0，2]时，f（x）＜m恒成立即m大于f（x）的最大值．
∵f（0）=5，f（2）=7⇒f（x）在[0，2]上的最大值为7．
∴m＞7．
故答案为：（7，+∞）

点评 本题主要考查了导数在求函数最大值与最小值中的应用，属于常考题型．