题目内容
已知定义域为R的函数f （x）对任意实数x，y满足f （x+y）+f （x-y）=2f （x）cosy，且f （0）=0，f （
）=1．给出下列结论：①f （
）=
②f （x）为奇函数 ③f （x）为周期函数 ④f （x）在（0，π）内为单调函数其中正确的结论是________．（ 填上所有正确结论的序号）．
②③
分析：通过给题中恒成立的等式赋值，对于①给x，y都赋值判断出错；对于②给x赋值0判断出对；对于
判断出对；对于④通过举反例判断出错．
解答：对于①令
得
所以
，故①错
对于②令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy即f（y）+f（-y）=0，故f（x）为奇函数，故②对
对于③，令y=得f（x+）+f（x-）=0，所以
∴
∴
∴f（x）的周期为2π，故③对
对于④，由②③知，例如f（x）=sinx，满足但在（0，π）不单调，故④错
故答案为：②③
点评：本题考查通过给恒等式中的未知数赋定值求函数值、求函数的性质．
分析：通过给题中恒成立的等式赋值，对于①给x，y都赋值
判断出错；对于②给x赋值0判断出对；对于判断出对；对于④通过举反例判断出错．解答：对于①令
得所以，故①错对于②令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy即f（y）+f（-y）=0，故f（x）为奇函数，故②对
对于③，令y=
得f（x+）+f（x-）=0，所以∴∴∴f（x）的周期为2π，故③对对于④，由②③知，例如f（x）=sinx，满足但在（0，π）不单调，故④错
故答案为：②③
点评：本题考查通过给恒等式中的未知数赋定值求函数值、求函数的性质．
练习册系列答案
金钥匙试卷系列答案
相关题目