Question

16．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x-4与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l₁∥l，且直线l₁与抛物线C相切于点P，求直线l₁的方程及△ABP的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义得$\frac{p}{2}+3=4$，求出p，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，求出|AB|，利用直线l₁与抛物线C相切，求出直线l₁的方程，求出直线l₁与l的距离，即可求△ABP的面积．

解答 解：（Ⅰ）依题意得$\frac{p}{2}+3=4$，所以p=2，
所以抛物线方程为C：y²=4x； …（3分）
（Ⅱ）联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
消去x得y²-2y-8=0，
从而$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=2\\{y_1}{y_2}=--8\end{array}\right.$，
由弦长公式得$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=3\sqrt{5}$，…（6分）
设直线l₁的方程为y=2x+b，…（7分）
联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=2x+b\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得y²-2y+2b=0，…（8分）
由△=4-8b=0得$b=\frac{1}{2}$，所以直线l₁的方程为$y=2x+\frac{1}{2}$，…（10分）
直线l₁与l的距离为$\frac{{|\frac{1}{2}+4|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}$，…（11分）
所以${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}×\frac{{9\sqrt{5}}}{10}×3\sqrt{5}=\frac{27}{4}$．…（12分）

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，正确求出抛物线的方程是关键．