题目内容
已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
(2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
(2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
（1）见解析 （2）x2＋(y－
)2＝
)2＝(1)解法一：直线mx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
解法二：联立方程
，消去y并整理，得
(m2＋1)x2－2mx－4＝0.
因为Δ＝4m2＋16(m2＋1)>0，所以直线l与圆C总有两个不同交点．
解法三：圆心C(0,2)到直线mx－y＋1＝0的距离d＝
＝
≤1<
，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，联立直线与圆的方程得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，
由根与系数的关系，得x＝
＝
，
由点M(x，y)在直线mx－y＋1＝0上，当x≠0时，得m＝
，代入x＝，得x[()2＋1]＝，
化简得(y－1)2＋x2＝y－1，即x2＋(y－)2＝.
当x＝0，y＝1时，满足上式，故M的轨迹方程为x2＋(y－)2＝.
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
解法二：联立方程
，消去y并整理，得(m2＋1)x2－2mx－4＝0.
因为Δ＝4m2＋16(m2＋1)>0，所以直线l与圆C总有两个不同交点．
解法三：圆心C(0,2)到直线mx－y＋1＝0的距离d＝
＝≤1<，所以直线l与圆C总有两个不同交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，联立直线与圆的方程得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，
由根与系数的关系，得x＝
＝，由点M(x，y)在直线mx－y＋1＝0上，当x≠0时，得m＝
，代入x＝，得x[()2＋1]＝，化简得(y－1)2＋x2＝y－1，即x2＋(y－
)2＝.当x＝0，y＝1时，满足上式，故M的轨迹方程为x2＋(y－
)2＝.
练习册系列答案
相关题目
与圆
的公共弦的长为8，则
___________．
和圆
．
和圆
的位置关系；
，求切线
交圆
，使得圆
？若存在，求出圆
，2
，
，
中，直线
被
圆截得的弦长为 .
＝
，则
＝________．
．
有公共点的概率.