Question

已知圆和圆．
（1）判断圆和圆的位置关系；
（2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程；
（3）过圆的圆心作动直线交圆于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）外离；
（2）或；
（3）存在圆：或，使得圆经过点 。

试题分析：（1）求出两圆的圆心距，在比较其与 的大小关系，从而确定两圆的位置关系；（2）由点               
斜式设出切线方程，然后用点线距离公式建立关于的方程；（2）斜率不存在时，易知圆也是满足题意的圆；斜率存在时，假设存在以为直径的圆经过点，则，所以，则可得，再把直线方程与圆的方程联立可求，，代入上式可得关于的方程。
(1)因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
所以圆和圆的圆心距，
所以圆与圆外离.                      3分
（2）设切线的方程为：，即，
所以到的距离，解得.
所以切线的方程为或. ....7分
(3)ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为，，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆．.......8分
ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，由，
消去整理，得，
由△，得或．
设，则有  ①    9分
由①得，  ②
，   ③
若存在以为直径的圆经过点，则，所以，
因此，即，   10分
则，所以，，满足题意．
此时以为直径的圆的方程为，
即，亦即．   12分
综上，在以AB为直径的所有圆中，存在圆：或
，使得圆经过点．          14分