题目内容

已知f（x）=2ax $数学公式$ +4lnx在x=1与x= $数学公式$ 都取得极值．
（1）求a、b；
（2）若对x∈[ $数学公式$ ，e]时，f（x）≥c取值范围．

解：（1）f′（x）=2a+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∵f（x）=2ax $\text{[math]}$ +4lnx在x=1与x= $\text{[math]}$ 处都取得极值，
∴f′（1）=0，f′（ $\text{[math]}$ ）=0，
∴ $\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$ ，b=-1，
经检验符合题意；
（2）由（1）可知f（x）=-3x+ $\text{[math]}$ +4lnx，
f^′′（x）=-3- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
由f′（x）≥0，得f（x）的单调增区间为[ $\text{[math]}$ ，1]，
由f′（x）≤0，得f（x）的单调减区间为（0， $\text{[math]}$ ]和[1，+∞），
当x∈[ $\text{[math]}$ ，e]时，f（ $\text{[math]}$ ）=e-4- $\text{[math]}$ ，f（e）= $\text{[math]}$ +4-3e，
而f（ $\text{[math]}$ ）-f（e）=4e-8- $\text{[math]}$ ＞0，
所以f（ $\text{[math]}$ ）＞f（e），即f（x）在[ $\text{[math]}$ ，e]上的最小值为 $\text{[math]}$ ，
要使对x $\text{[math]}$ 时，f（x）≥c恒成立，必须c≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导数f′（x），由f（x）在x=1与x= $\text{[math]}$ 处取得极值得f^′′（1）=0，f^′′（ $\text{[math]}$ ）=0，从而得到方程组，解出a，b再加以检验；
（2）利用导数求出f（x）的单调区间，结合图象通过作差比较出f（x）在[ $\text{[math]}$ ，e]上的最小值，则f（x）≥c恒成立等价于f（x）_min≥c；
点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数在某点取得极值的条件，考查恒成立问题的处理，转化为求函数最值是解决恒成立问题的常用方法．