Question

已知f（x）=2ax-

b

x

+4lnx在x=1与x=

1

3

都取得极值．
（1）求a、b；
（2）若对x∈[

1

e

，e]时，f（x）≥c取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），由f（x）在x=1与x=

1

3

处取得极值得f^′′（1）=0，f^′′（

1

3

）=0，从而得到方程组，解出a，b再加以检验；
（2）利用导数求出f（x）的单调区间，结合图象通过作差比较出f（x）在[

1

e

，e]上的最小值，则f（x）≥c恒成立等价于f（x）_min≥c；

解答：解：（1）f′（x）=2a+

b

x2

+

4

x

，
∵f（x）=2ax-

b

x

+4lnx在x=1与x=

1

3

处都取得极值，
∴f′（1）=0，f′（

1

3

）=0，
∴

2a+b+4=0 2a+9b+12=0

，解得a=-

3

2

，b=-1，
经检验符合题意；
（2）由（1）可知f（x）=-3x+

1

x

+4lnx，
f^′′（x）=-3-

1

x2

+

4

x

=-

(3x-1)(x-1)

x2

，
由f′（x）≥0，得f（x）的单调增区间为[

1

3

，1]，
由f′（x）≤0，得f（x）的单调减区间为（0，

1

3

]和[1，+∞），
当x∈[

1

e

，e]时，f（

1

e

）=e-4-

3

e

，f（e）=

1

e

+4-3e，
而f（

1

e

）-f（e）=4e-8-

4

e

＞0，
所以f（

1

e

）＞f（e），即f（x）在[

1

e

，e]上的最小值为

1

e

+4-3e，
要使对x∈[

1

e

，e]时，f（x）≥c恒成立，必须c≤f(x)min=

1

e

+4-3e．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数在某点取得极值的条件，考查恒成立问题的处理，转化为求函数最值是解决恒成立问题的常用方法．