Question

已知f（x）=2ax-

b

x

+lnx在x=-1，x=

1

2

处取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若对x∈[

1

4

，4]时，f（x）＞c恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（-1）=0，f'（

1

2

）=0求出a，b的值．
（2）先将问题转化为求函数f（x）在[

1

4

，4]最小值的问题，只要c小于f（x）在[

1

4

，4]最小值即可满足条件．
将a，b的值代入f'（x），然后判断函数的单调性，进而可求最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=2ax-

b

x

+lnx，
∴f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．
∵f（x）在x=-1与x=

1

2

处取得极值，
∴f′（-1）=0，f′（

1

2

）=0，
即

2a+b-1=0 2a+4b+2=0.

解得

a=1 b=-1.

∴所求a、b的值分别为1、-1．
（2）由（1）得f′（x）=2-

1

x2

+

1

x

=

1

x2

（2x²+x-1）=

1

x2

（2x-1）（x+1）．
∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＜0；
当x∈[

1

2

，4]时，f′（x）＞0．
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，4]上的极小值．又∵只有一个极小值，
∴f（x）_min=f（

1

2

）=3-ln2．
∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）_min=3-ln2．
∴c的取值范围为c＜3-ln2．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数的关系．导数是高考的热点问题，每年必考，要重视．