Question

如图，在四边形ABCD中，

BC

=λ

AD

(λ∈R），|

AB

|=|

AD

|=2，|

CB

-

CD

|=2

3

，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．求：
（1）λ的值；
（2）

CB

•

BA

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知|

BC

|=λ|

AD

| =2λ  ，|

BD

|=2

3

且△ABD是三边分别为2，2，2

3

的等腰三角形，利用已知条件可得∠ABD=30°，从而可得∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，解直角三角形可得λ
（2）由（1）知，∠ABC=60°，|

CB

|=4，从而可得

CB

与

BA

的夹角120⁰，代入向量的数量积公式，即可．

解答：（1）因为

BC

=λ

AD

，所以BC∥AD，且|

BC

|=λ|

AD

|．（2分）
因为|

AB

|=|

AD

|=2，所以|

BC

|=2λ．
又|

CB

-

CD

|=2

3

，所以|

BD

|=2

3

．（5分）
作AH⊥BD于H，则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，得cos∠ABH=

BH

AB

=

3

2

，于是∠ABH=30°．
所以∠ADB=∠DBC=30°．
而∠BDC=90°，所以BD=BCcos30°，即2

3

=2λ•

3

2

，解得λ=2．（10分）
（2）由（1）知，∠ABC=60°，|

|CB

|=4
所以

CB

与

BA

的夹角为120°．
故

CB

•

BA

=|

CB

|•|

BA

|cos120°=-4．（14分）

点评：本题考查了平面向量共线的条件，向量减法的平行四边形法则，平面向量的夹角及数量积的定义，要注意求两向量的夹角时，一定要保证两向量共起点，避免夹角的求解错误．