Question

15．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且$\frac{tanC}{tanB}=-\frac{c}{2a+c}$．
（I）求B；
（II）若b=2$\sqrt{3}$，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和三角函数的化简可得cosB=-$\frac{1}{2}$，即可求出答案，
（Ⅱ）由余弦定理可得ac的值，再根据三角形的面积公式即可求出

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理以及且$\frac{tanC}{tanB}=-\frac{c}{2a+c}$得：
$\frac{tanC}{tanB}$=-$\frac{sinC}{2sinA+sinC}$，
∴$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=-$\frac{sinC}{2sinA+sinC}$，
∵C为△ABC的内角，
∴sinC≠0，
∴$\frac{cosB}{cosCsinB}$=-$\frac{1}{2sinA+sinC}$，
∴2sinAcosB+sinCcosB=-cosCsinB，
∴2sinAcosB=-（cosCsinB+sinCcosB）=-sin（B+C）
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB=-sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵B为三角形的内角，
∴B=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得b²=（a+c）²-2ac-2accosB，
将b=2$\sqrt{3}$，a+c=4，B=$\frac{2}{3}$π代入上式可得12=16-2ac（1-$\frac{1}{2}$），
∴ac=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式以及三角函数的化简和求值，考查了学生的运算能力，属于中档题