题目内容

设函数f(x)=的反函数f-1(x)，且f-1()=a，则f(a+7)=    (    )

A.-2              B.-1                  C.1               D.2

答案： A  【解析】本题考查分段函数及反函数知识；据题意由f-1()=a即f(a)=,由分段函数解析式知只能2a-4=a=1,故f(a+7)=f(8)=-log39=-2.

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由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列bn，bn=f-1（n）若对于任意n∈N*都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反函数列”
（1）设函数f（x）=
px+1
x+1
，若由函数f（x）确定的数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
（2）已知正整数列{cn}的前项和sn=
1
2
（cn+
n
cn
）．写出Sn表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=
-1
anSn2
，Dn是数列{dn}的前n项和，且Dn＞loga（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)＝x0成立，则称以(x0，x0)为坐标的点为函数f(x)图像上的不动点．

(Ⅰ)若函数f(x)＝图像上有两点关于原点对称的不动点，求a、b应满足的条件；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若a＝8，记函数f(x)图像上的两个不动点分别为A、B，M为函数图像上的另一点，且其纵坐标yM＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；

(Ⅲ)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举一反例说明．

设函数f(x)＝|2ax＋b|(a，b是实常数)的定义域是(－1，1)，如果对于定义域内的每一个x，都有f(x)＜1，那么|a|＋|b|＜1．

(1)证明上述命题；

(2)写出上述命题的逆命题，若逆命题正确，请加以证明；若逆命题错误，请举一个反例加以说明．
设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使得y0=f(x0)=x0，则称以(x0,y0)为坐标的点为函数图象上的不动点.

(1)若函数f(x)=的图象上有两个关于原点对称的不动点，求a、b满足的条件;

(2)在(1)的条件下，若a=8，记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、A′，P为函数f(x)的图象上的另一点，且其纵坐标yP＞3，求点P到直线AA′距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.

(3)命题“若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明.
由函数y=f(x)确定数列{an},an=f(n),若函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)能确定数列{bn},bn=f-1(n),则称数列{bn}是数列{an}的“反数列”.

(1)已知函数f(x)=2的反函数为f-1(x)=(x≥0),则由函数f(x)=2确定的数列{an}的反数列为{bn},求{bn}的通项公式;不等式++…+≥1-2a对任意的正整数n恒成立,求实数a的范围;

(2)设函数y=3x确定的数列为{cn},{cn}的反数列为{dn},{cn}与{dn}的公共项组成的数列为{tn},求数列{tn}的前n项和Sn.

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