题目内容

设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)＝x0成立，则称以(x0，x0)为坐标的点为函数f(x)图像上的不动点．

(Ⅰ)若函数f(x)＝图像上有两点关于原点对称的不动点，求a、b应满足的条件；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若a＝8，记函数f(x)图像上的两个不动点分别为A、B，M为函数图像上的另一点，且其纵坐标yM＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；

(Ⅲ)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举一反例说明．

答案：
解析：

 　　解：(Ⅰ)若点(x0，y0)是不动点，则有f(x0)＝ ＝x0，

　　解：(Ⅰ)若点(x0，y0)是不动点，则有f(x0)＝＝x0，

　　即x02＋(b－3)x0－a＝0．(*)

　　由题意，知(*)有两个根，且这两个根绝对值相等，符号相反，由韦达定理得

　　b－3＝0，且－a＜0　　∴b＝3，且a＞0

　　而f(x)＝＝3＋，知a≠9．

　　故a、b应满足b＝3，a＞0且a≠9．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)，当a＝8，f(x)＝．

　　令x＝，解得A(2，2)，B(－，－)．

　　∴直线AB的方程是y＝x．

　　设点M(x，y)，M到直线y＝x的距离为d，则

　　d＝＝＝

　　＝·＝·＝[(y＋3)＋]

　　＝[(y－3)＋＋6]≥(2＋6)＝．

　　∴当且仅当y－3＝即y＝4时，上式取等号，此时x＝－4．故M(－4，4)．

　　(Ⅲ)命题正确

　　由f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，取x＝0，得f(0)＝0即(0，0)为函数的一个不动点．

　　设函数f(x)除0以外还有不动点(x，x)(x≠0)，则f(x)＝x．

　　又f(－x)＝－f(x)＝－x，故(－x，－x)也为函数不动点．

　　综上若定义在R上的奇函数f(x)图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个．　　例如f(x)＝x3－x．


练习册系列答案
相关题目

设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)

(1)当a＝2时，求f(x)的最小值．

(2)当0＜a＜1时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值．

设函数f(x)＝x2－2mx＋m2＋1(m∈R+)，g(x)＝x＋(k∈R+)．

(1)当x∈(0，∞)时，f(x)和g(x)都满足：存在实数a，使f(x)≥f(a)，g(x)≥g(a)且f(a)＝g(a)－m．求f(x)和g(x)的表达式；

(2)(文科不做、理科做)对于(1)中的f(x)，设实数b满足|x－b|＜1．

求证：|f(x)－f(b)|＜2|b|＋5．

设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)

(1)若f(－1)＝0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．

(2)(文)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．

(理)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝xf(x)－kx是单调递增，求实数k的取值范围．

设函数f(x)＝x2＋ax＋lg|a＋1|(a≠－1，a∈R)

(1)求证：f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，并求出g(x)和h(x)的表达式．

(2)若f(x)和g(x)在区间[|a＋1|，a2]上均为减函数，求a的取值范围．

设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)

(1)若f(－1)＝0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．

(2)在(1)条件下，当x∈[－2，2]，g(x)＝xf(x)－kx单调递增，求实数k的取值范围．

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