Question

【题目】已知集合 ．对于，定义与之间的距离为．

（Ⅰ），写出所有的；

（Ⅱ）任取固定的元素，计算集合中元素个数；

（Ⅲ）设，中有个元素，记中所有不同元素间的距离的最小值为．证明： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ) 元素个数为 (Ⅲ)见证明

【解析】

（Ⅰ）将n=2代入，即可求解。

（Ⅱ）分别令，求出的表达式，归纳，则可求元素个数。

（Ⅲ）表示出，结合定义，可得，即中任意两元素不相等，可得中至多有个元素，即可得证。

（Ⅰ）

（Ⅱ）当时，

当时，

写出，特别的，．

所以元素个数为

（Ⅲ）记，

我们证明．一方面显然有．另一方面，且，

假设他们满足．则由定义有，

与中不同元素间距离至少为相矛盾．

从而．

这表明中任意两元素不相等．从而．

又中元素有个分量，至多有个元素．

从而．