题目内容
【题目】已知离心率为2的双曲线
的一个焦点
到一条渐近线的距离为
.
（1）求双曲线的方程；
（2）设
分别为的左右顶点，
为异于一点，直线
与
分别交
轴于
两点，求证：以线段
为直径的圆
经过两个定点.
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据离心率求得
的关系式，利用焦点到渐近线的距离列方程，解方程求得的值，进而求得双曲线方程.（2）设出
点的坐标，根据点斜式求得
和
的方程，进而求得
两点的坐标，根据中点坐标和直径长求得圆
的方程.令
求得两个定点的坐标.
（1）设
：
，
因为离心率为2，所以
，
．
所以的渐近线为
，
由
，得
．
于是
，
，
故的方程为
．
（2）设
（
），
因为
，
，
可得直线与方程为
，
．
由题设，所以
，
，
，
中点坐标
，
于是圆的方程为
．
因为
，所以圆的方程可化为
．
当时，
，因此经过两个定点
和
．
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