题目内容

（理）在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．
求：
（1）顶点D'到平面B'AC的距离；
（2）二面角B-AC-B'的大小．（结果用反三角函数值表示）

解：（1）如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为
A（1，0，0）、D（0，0，0）、C（0，2，0）、A'（1，0，1）、B'（1，2，1）、D'（0，0，1）．
设平面B'AC的法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 解得u=2v，w=-2v，取v=1，得平面B'AC一个法向量 $\text{[math]}$ ，
且 $\text{[math]}$ ．
在平面B'AC取一点A，可得 $\text{[math]}$ ，于是顶点D'到平面B'AC的距离 $\text{[math]}$ ，
所以顶点D'到平面B'AC的距离为 $\text{[math]}$ ，
（2）因为平面ABC的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，设与 $\text{[math]}$ 的夹角为α，则 $\text{[math]}$ ，
结合图形可判断得二面角B-AC-B'是一个锐角，它的大小为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用空间向量来求点到平面的距离，必须先建立空间直角坐标系，找到已知点坐标，求出平面的法向量，再借助点到平面的距离公式 $\text{[math]}$ 来计算，其中 $\text{[math]}$ 为平面的法向量， $\text{[math]}$ 为点D′与平面上任意一点的向量．
（2）欲求二面角的大小，只需求出两个平面的法向量的夹角，再借助图形判断，法向量的夹角是二面角的夹角，还是其补角．
点评：本小题主要考查空间距离、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法．