Question

（2009•闵行区二模）（理）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，点E在棱AB上移动．
（1）探求AE等于何值时，直线D₁E与平面AA₁D₁D成45°角；
（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A₁DC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）解法一：先找到直线D₁E与平面AA₁D₁D所成的平面角，放入直角三角形中，根据角的大小为45°，来求三角形中边之间的关系，即可求出AE长度．
解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出

D1E

坐标，以及平面AA₁D₁D的法向量的坐标，因为直线D₁E与平面AA₁D₁D成45°角，所以

D1E

与平面AA₁D₁D的法向量成45°角，再用向量的数量积公式即可求出

D1E

坐标，进而判断E点位置．
（2）利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式d=

| n • DE |

| n |

来求，其中

n

为平面的法向量，

DE

为E点到平面上任意一点的向量．

解答：解：（1）解法一：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为点E在棱AB上移动，所以EA⊥平面AA₁D₁D，从而∠ED₁A为直线D₁E与平面AA₁D₁D所成的平面角，
Rt△ED₁A中，∠ED₁A=45°⇒AE=AD1=

2

．
解法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD₁依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点D₁（0，0，1），平面AA₁D₁D的法向量为

DC

=(0，2，0)，设E（1，y，0），得

D1E

=(1，y，-1)，
由

D1E • DC

| D1E || DC |

=sin

π

4

，得y=

2

，
故AE=

2

（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DD₁依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点E（1，1，0），A₁（1，0，1），
C₁（0，2，1），
从而

DA1

=(1，0，1)，

DC1

=(0，2，1)，

DE

=(1，1，0)
设平面DA₁C₁的法向量为

n

=(x，y，z)，由

n • DA1 =0 n • DC1 =0

⇒

x+z=0 2y+z=0

令

n

=(-1，-

1

2

，1)，
所以点E到平面A₁DC₁的距离为d=

| n • DE |

| n |

=1．

点评：本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题．