Question

（2007•杨浦区二模）（理）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．
（1）当异面直线AD₁与EC所成角为60°时，请你确    定动点E的位置．
（2）求三棱锥C-DED₁的体积．

Answer 1

分析：（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD′为z轴，建立空间直角坐标系． E（1，t，0），分别求出异面直线AD₁与EC的方向向量，根据异面直线AD₁与EC所成角为60°，我们可以构造一个关于t的方程，解方程即可确定出动点E的位置．
（2）由等体积法，我们可得V C-DED 1=V D 1-DEC，分别求出三棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可求出三棱锥C-DED₁的体积．

解答：解：（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD′为z轴，建立空间直角坐标系．
设 E（1，t，0）则A（1，0，0），D（0，0，0），D′（0，0，1），C（0，2，0）
则

D′A

=（1，0，-1），

CE

=（1，t-2，0）
根据数量积的定义及已知得：

D′A

•

CE

=1=

2

•

1+(t-2) 2

•cos60°（4分）
∴t=2
∴E的位置是AB中点．（6分）
（2）V C-DED 1=V D 1-DEC=

1

3

•S_△DEC•DD₁=

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

3

     （12分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，异面直线及其所成的角，其中（1）的关键是建立空间坐标系，将异面直线的夹角问题转化为向量夹角问题，（2）的关键是根据等体积法，将求三棱锥C-DED₁的体积，转化为求三棱锥D₁-DEC的体积．