Question

7．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①当c=0时，y=f（x）是奇函数；
②当b=0，c＞0时，函数y=f（x）只有一个零点；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④函数y=f（x）至多有两个零点．
其中正确命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 ①利用函数奇偶性的定义可判断．②当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根．
③利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称．
④举出反例如c=0，b=-2，可以判断．

解答 解：①当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，故①正确．
②b=0，c＞0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故函数y=f（x）只有一个零点，故②正确．
③因为f（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确．
④当c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2，故④错误．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了函数奇偶性、对称性、单调性以及二次函数的图象和性质．对函数奇偶性和单调性的充分理解，并用于二次函数当中，是解决本题的关键．