Question

18．已知函数 f（x）=ax-x⁴，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，A、B是图象上不同的两点，若直线AB的斜率k总满足 $\frac{1}{2}$≤k≤4，则实数a的值是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 5
• D． 1

Answer 1

分析 先对函数f（x）求导，然后根据$\frac{1}{2}$≤a-4x³≤4在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立可得答案．

解答 解：∵f（x）=ax-x⁴，∴f′（x）=a-4x³，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
由题意得$\frac{1}{2}$≤a-4x³≤4，即4x³+$\frac{1}{2}$≤a≤4x³+4在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，求得$\frac{9}{2}$≤a≤$\frac{9}{2}$，
则实数a的值是$\frac{9}{2}$．
故选：A

点评 本题主要考查导数的运算和导数的几何意义．属中档题．